모르면 손해보는 단리와 복리, 고등학교 수학이 이렇게 활용된다

단리와 복리, 그리고 수열

 

우리는 일상 속에서 예금을 넣거나 적금을 붓고, 대출을 받기도 하고, 투자로 자산을 불리기도 합니다.

그런데 이 모든 금융 활동의 밑바닥엔 고등학교 수학 시간에 배운 수열이 자리하고 있다는 사실, 알고 계셨나요?

단리·복리의 원리와 등차·등비수열을 중심으로, 금융과 수학이 맞닿는 지점을 풀어보고자 합니다.

단리 : 일정하게 쌓이는 이자

 단리는 원금에만 이자가 붙는 방식으로, 원금이 일정하다면 매 기간마다 늘어나는 이자가 항상 같습니다.

① 이자

 예를 들어, 단리의 방식으로 이자가 붙는 상황에서 원금이 1,000,000원이고, 연이율이 5%라면

   (연이자) = (원금) × (연이율) = 1,000,000원 × 0.05 = 50,000원이므로 매년 5만원의 이자가 붙습니다.

 

 따라서 단리는 원금이 변하지 않는다면 이자도 변하지 않습니다.

 

 

② 원리금, 원리합계 (원금과 이자의 합)

 매년 일정한 이자가 더해질 때, 원금과 이자의 합은 어떻게 변할까요?

 

 만약, 오늘부터 원금 100만원을 단리로 이자가 붙는 투자처에 투자할 때 원금과 이자의 합계(원리금)는

 

  1년 후 : 100만원(원금) + 5만원(1년치 이자) = 105만원
  2년 후 : 100만원(원금) + 2 × 5만원(2년치 이자) = 110만원

  3년 후 : 100만원(원금) + 3 × 5만원(2년치 이자) = 115만원 
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  n년 후의 원리합계를  a_n이라 하면, a_n=100+5n입니다.

 

 즉, 1년이 지날 때 마다, 원리금은 5만원씩 증가합니다.

 

 단리의 원리금과 같이, 일정한 값이 더해지는 수열을 등차수열이라고 합니다.

 

 

 

복리 : 기하급수적으로 증가하는 이자

 

복리는 일정한 이율로 이자가 붙을 때, 이전의 원리합계에 이자에 다시 이자가 붙는 구조입니다.

 

매 기간마다 이자가 붙는 대상이 단순히 원금만이 아니라, 이전까지의 이자까지 포함된다는 점이 단리와 구분됩니다.

 

① 이자

 예를 들어, 복리의 방식으로 이자가 붙는 상황에서 원금이 1,000,000원이고, 연이율이 5%일 때,

  1년 차의 이자는 100만원(원금) × 0.05(연이율) = 5만원으로 단리와 똑같이 5만원의 이자를 받습니다.

 

  하지만 이자 5만원으로 인해 원리금이 105만원이 되며,

  2년 차의 이자는 105만원(원리금)  × 0.05(연이율) = 52,500원으로 1년 차보다 높은 이자를 받습니다.

 

  한 번 더 해볼까요?

 

  2년 차의 원리금은 105만원 + 52,500원 = 1,102,500원이므로,

  3년 차의 이자는 1,102,500원(원리합계)  × 0.05(연이율) = 55,125원입니다.

 

 이자가 붙을수록 원리금이 커지고, 커진 원리금에 이자가 붙기 때문에 이자도 점점 늘어나겠죠?

 정리하면, 1년이 지날 때 마다 이자는  50,000원 → 52,500원 → 55,125원 → … 과 같이 1.05배씩 증가합니다.

 

 복리의 이자와 같이, 일정한 값이 곱해지는 수열을 등비수열이라고 합니다.

 (참고로 고등학교 수준에서, 0을 곱하는 수열은 다루지 않습니다.)

 

 

② 원리금, 원리합계 (원금과 이자의 합)

 매년 이자가 증가하는 상황에서 원리금도 기하급수적으로 증가합니다.

 

  1년 후 : (원리금) = 100만원  × (1.05)¹ = 105만원

 복리의 1년 후 원리금은 단리일 때와 같지만, 2년 후부터 달라집니다.

 

  2년 후 : (원리금) = 100만원  × (1.05)² = 110.25만원 (단리 110만원)

  3년 후 : (원리금) = 100만원  × (1.05)³ = 약 115.76만원 (단리 115만원)

  4년 후 : (원리금) = 100만원  × (1.05)⁴ = 약 121.55만원 (단리 120만원)

 기간이 길어질 수록 단리와 복리의 차이가 커집니다.

 

 그렇다면 30년 후에는 어떻게 될까요?

  30년 후 : (원리금) = 100만원  × (1.05)³⁰ = 약 432만원 (단리 250만원)

 30년 후에는 단리와 복리의 차이가 약 182만원으로 원금이 100만원이었던 것을 생각하면 큰 차이가 납니다.

 

복리의 핵심은 이처럼 "시간이 지날수록 이자가 기하급수적으로 늘어난다"는 점입니다.
장기 투자의 경우에는 단리보다는 복리의 방법이 유리하겠죠?

 

다음 글에서는 예금, 적금, 주식투자, 대출 등 실제 상황에서 단리와 복리가 어떻게 적용되는지 확인해보겠습니다.